Как не ошибаться - Страница 107

107

Посмотрим, что по этому поводу говорит Кеплер. Гранатовое дерево стремится поместить под кожицей своего плода как можно больше зерен; другими словами, оно решает задачу упаковки сфер. При условии, что природа делает свою работу очень качественно и сверхответственно, эти сферы должны быть размещены с максимальной плотностью. Кеплер предложил, по его утверждению, самый оптимальный вариант упаковки сфер. Для укладки нижнего слоя следует начать с плоской стороны зерен, расположив их таким традиционным образом, как показано на рисунке.

Следующий слой должен выглядеть аналогично, но зернышки необходимо выложить так, чтобы каждое разместилось в маленьком треугольном углублении, образованном тремя зернами нижнего слоя. Затем необходимо точно так же выкладывать следующие слои зерен граната. При укладке требуется проявлять некоторую осторожность: только половина углублений будет поддерживать сферы следующего уровня, и на каждом этапе предстоит решать, какую именно половину углублений вы хотите заполнить. Традиционное решение, которое называется «гранецентрированная кубическая решетка», имеет одно замечательное свойство: на каждом очередном уровне есть сферы, расположенные непосредственно над сферами тремя уровнями ниже. По мнению Кеплера, не существует способа более плотной упаковки сфер в пространстве. В гранецентрированной кубической решетке каждая сфера соприкасается ровно с двенадцатью другими сферами. Кеплер считал, что по мере роста зерен граната каждое из них начинает придавливать своих двенадцать соседей, из-за чего поверхность у точки соприкосновения становится плоской и зерна граната превращаются в фигуры с двенадцатью гранями.

Понятия не имею, был ли прав Кеплер насчет граната, но его утверждение, что гранецентрированная кубическая решетка обеспечивает самую плотную упаковку сфер, на целые столетия оказалось в центре пристального интереса математиков. Кеплер не сформулировал доказательство своего утверждения; по всей вероятности, ему просто казалось очевидным, что гранецентрированную кубическую решетку превзойти невозможно. С ним солидарны целые поколения бакалейщиков, пакующие апельсины в соответствии с гранецентрированной кубической конфигурацией. Однако математикам как людям требовательным понадобилось абсолютное подтверждение, причем не только в отношении окружностей и сфер. В мире чистой математики ничто не мешает выйти за рамки окружностей и сфер, устремиться к более высоким размерностям и начать упаковать так называемые гиперсферы в пространство с количеством измерений больше трех. Не позволяет ли геометрическая история об упаковке сфер в пространстве с большей размерностью лучше понять теорию кодов с исправлением ошибок, подобно геометрической истории о проективном плане? В данном случае поток перемещается главным образом в другом направлении: открытия в области кодирования подстегнули прогресс в области упаковки сфер. Например, в 1960-е годы Джон Лич, применив один из кодов Голея, построил в двадцатичетырехмерном пространстве невероятно плотную упаковку сфер. Конфигурация, известная сегодня как «решетка Лича», представляет собой крайне густонаселенное место, в котором каждая из двадцатичетырехмерных сфер соприкасается с 196 560 соседними сферами. До сих пор неизвестно, обеспечивает ли она самую плотную упаковку сфер в двадцатичетырехмерном пространстве, но в 2003 году Генри Кон и Абхинав Кумар доказали, что, если более плотная решетка и существует, она обеспечит плотность упаковки сфер больше плотности решетки Лича максимум в

1,00000000000000000000000000000165 раз,

то есть довольно близко к решетке Лича.

Я пойму вас и даже прощу, если вы скажете, что вам, мол, нет никакого дела до двадцатичетырехмерных сфер и того, как можно их упаковать. Но важно понимать один момент: любой математический объект, столь невероятный, как решетка Лича, приобретает весьма большое значение, и к нему должно отнестись крайне серьезно. Как выяснилось, решетка Лича содержит множество симметрий поистине экзотического вида – Джон Конвей, крупный специалист в области теории групп, узнал о ней в 1968 году, за двадцать четыре часа непрерывных вычислений он выписал на огромный рулон бумаги все симметрии решетки Лича. В конечном счете эти симметрии позволили сформулировать последние фрагменты теории конечных групп симметрии, занимавшей умы алгебраистов на протяжении большей части ХХ столетия.

Что касается старых добрых трехмерных апельсинов… Оказывается, Кеплер был прав, настаивая, что его способ упаковки самый лучший, но это не было доказано еще целых четыре столетия, пока в 1998 году теорию Кеплера не подтвердил Томас Хейлс, в то время профессор Мичиганского университета. Хейлс решил этот вопрос с помощью сложного и изящного доказательства, в котором задача была сведена к анализу всего лишь нескольких тысяч сфер, выполненному посредством большого объема компьютерных вычислений. Для математического сообщества не проблема создать сложное и изящное доказательство (мы привыкли к такого рода трудам), и эта часть работы Хейлса быстро получила превосходную оценку и подтверждение правильности; но что касается большого объема компьютерных вычислений – тут сложилась более серьезная ситуация. Доказательство возможно проанализировать до последней детали, однако с компьютерной программой все обстоит иначе. Теоретически человек в состоянии проверить каждую строку кода, но, даже если он с этим справится, может ли он полагаться на то, что код будет выполняться корректно?

107