Как не ошибаться - Страница 126

126

Точно так же точку в трехмерном пространстве описывают три координаты (x, y, z). И ничто, кроме привычки и малодушного страха не мешает нам пойти еще дальше. Группу из четырех координат можно рассматривать как точку в четырехмерном пространстве, а группу из десяти чисел, как показатели температуры в Калифорнии из нашей таблицы, – это точка в десятимерном пространстве. А теперь попытайтесь представить себе десятимерный вектор.

К слову, у вас есть все основания спросить: как я должен себе это представить? Как выглядит десятимерный вектор?

Он выглядит так.

В этом и состоит маленький секрет продвинутой геометрии. Тот факт, что мы можем выполнять геометрические операции в десяти измерениях (или в сотне, или даже в миллионе и т. д.), производит большое впечатление, однако мысленные образы, которые мы храним в своей памяти, являются двумерными или самое большее трехмерными. Это все, с чем может работать наш мозг. К счастью, в большинстве случаев такого ограниченного видения достаточно.

Геометрия высших измерений может показаться недоступной для понимания, особенно учитывая, что мир, в котором мы живем, трехмерный (или четырехмерный, если учитывать время, или, может, двадцатишестимерный, если вы относитесь к числу специалистов по теории струн, но даже в таком случае Вселенная не выходит далеко за пределы этих измерений). Зачем же изучать геометрию, которая не реализована во Вселенной?

Один ответ связан с изучением данных, которые получили в наше время очень широкое распространение. Вспомните цифровую фотографию, сделанную четырехмегапиксельной фотокамерой: ее описание состоит из четырех миллионов чисел, по одному на каждый пиксел. (И это еще без учета цвета!) Следовательно, такое изображение представляет собой вектор с размерностью четыре миллиона, или, если угодно, точку в пространстве четырех миллионов измерений. А изображение, которое меняется со временем, представлено точкой, которая перемещается в пространстве с размерностью четыре миллиона, которая вычерчивает линию в пространстве с размерностью четыре миллиона, и вы не успеете опомниться, как уже будете выполнять исчисление в пространстве с размерностью четыре миллиона, после чего может начаться настоящее веселье.

Но вернемся к температуре. В нашей таблице два столбца чисел, каждый можно представить в виде десятимерного вектора. Вот как выглядят эти векторы.

Векторы указывают примерно в одном и том же направлении, а это говорит о том, что два столбца чисел не так уж отличаются друг от друга: как мы уже видели, города с самой низкой температурой в 2011 году остались такими же холодными в 2012 году, и то же самое можно сказать о самых теплых городах.

Это и есть формула Пирсона, представленная на языке геометрии. Корреляцию между этими двумя переменными определяет угол между двумя векторами. Если хотите представить это в тригонометрической форме, корреляция – это косинус угла между векторами. Не важно, помните ли вы, что такое косинус; вам нужно знать только то, что косинус угла равен 1, если угол равен 0 (то есть когда векторы указывают в одном направлении), и −1, если угол равен 180 градусам (векторы указывают в противоположных направлениях). Между двумя переменными имеет место положительная корреляция, когда соответствующие векторы образуют острый угол (то есть угол менее 90 градусов), и отрицательная корреляция в случае тупого угла (когда угол между векторами больше 90 градусов). Это имеет смысл: векторы, расположенные под острым углом друг к другу, в каком-то смысле указывают в одном направлении, тогда как векторы, которые образуют тупой угол, как будто преследуют разные цели.

Когда угол между векторами является прямым, то есть не острым и не тупым, корреляция между двумя переменными равна нулю, другими словами эти переменные не связаны друг с другом, во всяком случае с точки зрения, корреляции. В геометрии пара векторов, образующих прямой угол, называются перпендикулярными, или ортогональными. Само собой разумеется, среди математиков и других приверженцев тригонометрии принято использовать слово «ортогональный» для обозначения того, что не связано с рассматриваемым вопросом: «Вы можете предположить, что математические способности связаны с огромной популярностью, но, судя по моему опыту, эти два качества ортогональны». Такое употребление слова постепенно переходит из жаргона гиков в общеупотребительный язык. Посмотрите хотя бы, что произошло во время недавних прений сторон в Верховном суде США.

...

Мистер Фридман. Думаю, этот вопрос полностью ортогонален рассматриваемому здесь вопросу, поскольку Содружество признает…

Председатель суда Робертс. Прошу прощения. Полностью что?

Мистер Фридман. Ортогонален. Прямой угол. Не имеющий отношения. Не относящийся к делу.

Председатель суда Робертс. Ах да.

Судья Скалиа. Что это за прилагательное? Мне оно понравилось.

Мистер Фридман. Ортогональный.

Судья Скалиа. Ортогональный?

Мистер Фридман. Да, верно.

Судья Скалиа. Ох!

(Смех в зале.)

126