Как не ошибаться - Страница 21

Некоторые сторонники реформистского подхода заявляют, что классические алгоритмы (например, «сложить два двузначных числа, расположив одно над другим столбиком и в случае необходимости выполнив перенос») следует исключить из учебного курса, чтобы они не мешали ученикам самостоятельно обнаруживать свойства математических объектов.

С одной стороны, я считаю эту мысль ужасной: такие алгоритмы представляют собой полезные инструменты, над разработкой которых кто-то упорно работал, и нет никаких оснований начинать все с нуля.

С другой стороны, мне кажется, что в современном мире вполне можно отказаться от некоторых алгоритмов. Например, нам нет необходимости учить студентов извлекать квадратные корни вручную или в уме (хотя второй из этих двух навыков, говорю вам по собственному опыту, можно использовать в качестве замечательного фокуса на вечеринке в кругу яйцеголовых). Калькулятор – не менее полезный инструмент, над созданием которого кто-то упорно трудился; мы также должны использовать этот инструмент, когда того требует ситуация! Меня даже не интересует, могут ли мои студенты разделить 430 на 12 посредством деления столбиком. Меня на самом деле волнует лишь одно: они должны мысленно определить, что ответ немногим больше 35 – тогда я буду спокоен, что у них прекрасно развиты арифметическое мышление и представление о числах.

Опасность чрезмерного акцента на алгоритмах и точных вычислениях состоит в том, что к ним слишком легко получить доступ. Если мы остановимся на видении математики как дисциплины, которая сводится к «получению правильного ответа» и не более того, мы начнем тестировать абитуриентов на наличие только этой способности и рискуем тем, что будем воспитывать студентов, которые получают по тестам отличные результаты, но совсем не знают математики. Может быть, это устраивает тех, кого интересуют одни лишь результаты тестов, но это не устраивает меня.

Безусловно, совсем не лучше – на самом деле даже гораздо хуже – создавать популяцию студентов, у которых сформировалось некое понимание математического смысла, но не умеющих быстро и правильно решать примеры. Преподаватели математики больше всего не любят слышать от студентов заявления такого рода: «Я понимаю концепцию, но не умею решать задачи». Возможно, такие студенты даже не догадываются, что их фраза подразумевает следующее: «Я не понимаю концепции». Математические идеи могут казаться абстрактными, но они имеют смысл только в контексте конкретных вычислений. Уильям Карлос Уильямс сформулировал эту мысль так: «Нет идей вне вещей».

Эта борьба нигде не проявляется более отчетливо, чем в планиметрии. Здесь находится последний бастион обучения построению доказательств, которые лежат в основе преподавания математики. Многие профессиональные математики считают доказательство последним оплотом «истинной математики». Однако не совсем понятно, в какой степени мы на самом деле учим красоте, силе и неожиданности доказательства в процессе преподавания геометрии. Учебный курс легко может превратиться в рутинную отработку таких бесполезных и неинтересных задач, как вычисление тридцати определенных интегралов. Это настолько серьезная ситуация, что лауреат Филдсовской премии Дэвид Мамфорд предположил: мы можем полностью отказаться от планиметрии, заменив ее начальным курсом программирования. Компьютерная программа имеет много общего с геометрическим доказательством: и то и другое требует, чтобы студент собрал один за другим воедино ряд простых элементов, выбранных из небольшой совокупности вариантов, так, чтобы в целом сформированная последовательность выполняла ту или иную значимую задачу.

Я не настолько радикален. Я вообще не отношусь к числу радикалов. Хотя это и может вызвать недовольство сторонников обоих подходов, я считаю, что мы должны преподавать математику, в которой высоко ценятся как точные ответы, так и интеллектуальная аппроксимация; математику, требующую как способности свободно применять существующие алгоритмы, так и простого здравого смысла, помогающего находить спонтанные решения; математику, в которой научная строгость сочетается с ощущением игры. Откровенно говоря, если всего этого нет, мы вообще преподаем не математику.

Трудная задача, но именно этим занимаются лучшие преподаватели математики, пока наверху среди администраторов бушуют математические войны.

И снова об ожирении – этой катастрофе современности

Так сколько американцев будут страдать ожирением к 2048 году? Вы уже догадываетесь, как Юфа Ванг и другие авторы статьи, опубликованной в журнале Obesity, построили свою проекцию. Национальная программа проверки здоровья и питания населения (National Health and Nutrition Examination Study, далее везде – NHANES) отслеживает данные о состоянии здоровья большой репрезентативной выборки граждан, охватывающие самые разные аспекты: от потери слуха до передачи инфекций половым путем. В частности, NHANES предоставляет весьма достоверные данные о доле американцев, имеющих избыточный вес; его в данном случае можно определить как вес, при котором индекс массы тела (далее везде – ИМТ) равен 25 и более. Нет никаких сомнений в том, что за последние десятилетия распространенность избыточного веса увеличилась. В начале 1970-х годов чуть менее половины американцев имели столь высокий ИМТ. В начале 1990-х этот показатель возрос до 60 %, а в 2008 году избыточный вес был почти у трех четвертей населения США.