Как не ошибаться - Страница 27

Наблюдение де Муавра совпадает с концепцией, лежащей в основе расчетов стандартной погрешности в результатах политического опроса. Если вы хотите сократить уровень погрешности в два раза, вам необходимо опросить в четыре раза больше людей. Но если вы хотите знать, как правильно оценить довольно большое количество выпавших аверсов, можно определить, на сколько квадратных корней из числа попыток данное значение отклоняется от 50 %. Квадратный корень из 100 равен 10. Следовательно, если я получил 60 аверсов за 100 попыток, это и есть отклонение на один квадратный корень от распределения 50 на 50. Квадратный корень из 1000 равен почти 31; следовательно, если я получил 538 аверсов за 1000 попыток, значит, мне удалось совершить нечто еще более удивительное, хотя во втором случае я получил всего 53,8 % аверсов, тогда как в первом случае – 60 %.

Однако де Муавр еще не поставил точку в своих изысканиях. Он обнаружил, что в долгосрочной перспективе отклонения от 50 на 50 всегда стремятся сформировать идеальную колоколообразную кривую, которую мы называем нормальным распределением. Основоположник статистики Фрэнсис Исидор Эджуорт предложил называть эту кривую шлемом жандарма. (Должен признаться, мне жаль, что этот термин не прижился.)

Колоколообразная кривая («шлем жандарма») высокая посередине и плоская по краям; другими словами, чем дальше отклонение от нуля, тем меньше вероятность такого отклонения. Это можно точно представить в количественной форме. Если вы подбрасываете N монет, вероятность того, что в итоге вы отклонитесь от 50 % не более чем на квадратный корень из N, составляет 95,45 %. Квадратный корень из 1000 равен 31; в действительности восемнадцать из представленных выше двадцати попыток в случае подбрасывания тысячи монет (или 90 %) были в пределах 31 аверсов больше или меньше 500. Если я продолжил бы игру, относительная доля количества раз, когда я попадал бы в диапазон от 469 до 531, все больше приближалась бы к показателю 95,45 %.

Возникает ощущение, будто нечто воздействует на то, как это происходит. Вполне допускаю, что подобное ощущение было и у самого де Муавра. Согласно многим свидетельствам, он рассматривал закономерности в поведении монет при многократном подбрасывании (или в любом другом эксперименте при наличии фактора случайности) как проявление воли Бога, превращавшего любые кратковременные особенности монет, игральных костей и человеческих жизней в предсказуемое долгосрочное поведение, которым управляют непреложные законы и поддающиеся расшифровке формулы.

Однако такое ощущение опасно, поскольку как только вы примете за истину, будто чья-то трансцендентальная воля (Божья ли, Госпожи ли Удачи или Лакшми – чья конкретно, не имеет значения) подталкивает монеты к тому, чтобы они выпадали лицевой стороной вверх в половине случаев, вы сразу начинаете верить в так называемый закон средних: если пять монет подряд выпадают аверсом, тогда следующая почти наверняка выпадет реверсом. Если у кого-то есть три сына, следующей наверняка будет дочь. В конце концов, разве де Муавр не говорил нам, что крайние результаты (такие как четыре сына подряд) в высшей степени маловероятны? Говорил, и так оно и есть на самом деле. Тем не менее, если у вас уже есть три сына, возможность того, что четвертым тоже будет сын, далеко не маловероятна. В действительности вероятность, что у вас снова будет сын, такая же, как если это был бы ваш первый ребенок.

На первый взгляд может показаться, что это противоречит закону больших чисел, который должен был бы разделить ваше потомство в равных частях на девочек и мальчиков. Однако это только кажущееся противоречие. Легче понять, что происходит, на примере монет. Я мог бы начать подбрасывать монеты и получить 10 аверсов подряд. Что произойдет далее? Прежде всего вы заподозрите, будто что-то не так с вашей монетой. Во второй части книги мы вернемся к этому вопросу, но пока будем исходить из предположения, что монета у нас правильная. Итак, закон гласит: по мере того как я подбрасываю монету все больше и больше раз, относительная доля выпавших аверсов должна приближаться к 50 %.

Здравый смысл говорит, что теперь – дабы скорректировать существующий дисбаланс – вероятность выпадания реверсов должна быть немного выше.

Но тот же здравый смысл еще более настойчиво утверждает: монета никак не в состоянии помнить, что с ней происходило, когда я подбрасывал ее первые десять раз!

Не хочу держать вас в неведении. Здравый смысл прав во втором случае. Закон средних получил не очень подходящее название, поскольку законы должны быть истинными, а этот закон ложный. У монет нет памяти, а значит, у следующей монеты, которую вы подбросите, такой же шанс 50 на 50 выпасть лицевой стороной вверх, что и у любой другой. Общая относительная доля монет стремится к 50 % вовсе не по причине благоволения судьбы к реверсам – дабы компенсировать уже выпавшие аверсы. Причина в том, что чем больше вы подбрасываете монету, тем больше уменьшается влияние первых десяти подбрасываний. Если я подброшу монету еще тысячу раз и получу при этом примерно половину аверсов, то их доля в серии первых 1010 подбрасываний также приблизится к 50 %. Именно так работает закон больших чисел: не уравновешивая то, что уже произошло, а разбавляя произошедшее новыми данными до тех пор, пока прошлое станет настолько пропорционально незначительным, что его вполне можно будет забыть.