Как не ошибаться - Страница 39

Вычисления в обратном порядке, или почему алгебра столь трудна для понимания

В процессе обучения есть два опасных поворота, из-за которых у многих детей возникают трудности с изучением математики. Первый наступает в начальной школе, когда вводится понятие дроби. До этого момента любое число было натуральным, одним из ряда 0, 1, 2, 3… Такие числа представляют собой ответ на вопрос «сколько?». То есть пока мы имели дело с весьма простым понятием, настолько примитивным, что, если довериться слухам, его постигают даже многие животные. Переход от этого понятия к гораздо более широкой концепции, где число может означать «какая часть», – слишком серьезный шаг, который можно приравнять к мировоззренческому сдвигу. («Бог создал натуральные числа. Все остальное – творение человека», – сказал Леопольд Кронекер, алгебраист XIX столетия.)

Второй опасный поворот – алгебра. Почему она так трудна для понимания? Потому что до появления алгебры все числовые вычисления выполняются сугубо алгоритмически. Вы вводите определенные числа в некое устройство для выполнения операции сложения, умножения или (в школах с традиционным подходом к обучению) даже деления столбиком – и, повернув рычаг, получаете на выходе результат.

Алгебра представляет собой нечто иное. Это вычисления в обратном порядке. Предположим, вам нужно решить такой пример:

x + 8 = 15

Вы знаете, что получено на выходе данного устройства для операции сложения (а именно 15); вам необходимо методом обратных вычислений определить, что было введено в это устройство вместе с числом 8.

В данном случае, как вам наверняка объяснил учитель математики в седьмом классе, можно выполнить перенос из одной части уравнения в другую, чтобы известные числа оказались с одной стороны:

x = 15 – 8

После этого можно просто ввести числа 15 и 8 в устройство для выполнения операции вычитания (позаботившись при этом, чтобы числа вводились в правильном порядке), определив таким способом, что x должен быть равен 7.

Однако не всегда все так просто. Возможно, вам понадобится решить квадратное уравнение такого типа:

x² – x = 1.

Я уже слышу ваши протесты! Да что вы говорите? Серьезно?

Действительно, с какой стати вам вообще делать это, если только вы не получили от учителя такого задания?

Помните ту ракету из ? Ведь она и поныне все еще бешено мчится к вам.

Возможно, вы уже знаете: эта ракета запущена с высоты 100 метров над поверхностью земли и движется вверх со скоростью 200 метров в секунду. Если не было бы силы тяжести, она продолжала бы лететь вверх по прямой в соответствии с законами Ньютона, каждую секунду поднимаясь на очередных 200 метров. Через x секунд ракета была бы расположена на высоте, которую описывает следующая линейная функция:

высота = 100 + 200x.

Однако существует такая вещь, как сила тяжести, которая изгибает траекторию движения ракеты и заставляет ее двигаться по кривой назад, к поверхности земли. Оказывается, это воздействие силы тяжести можно описать уравнением, содержащим квадратичный член:

высота = 100 + 200x – 5x²,

где знак минуса стоит перед квадратичным членом только потому, что сила тяжести толкает ракету вниз, а не вверх.

Существует много вопросов, которые вы можете задать по поводу летящей к вам ракеты, однако самый важный из них звучит просто: когда же она наконец приземлится? Чтобы ответить на этот вопрос, необходимо определить, когда высота местоположения ракеты будет равна нулю, другими словами – найти значение x, при котором уравнение приобретет такой вид:

100 + 200x – 5x² = 0.

Совершенно непонятно, как именно в этом уравнении следовало бы выполнить перестановку, чтобы найти x. Может быть, вам и не понадобится этого делать. Метод последовательного приближения – это мощное оружие. Если в представленную выше формулу подставить x = 10, чтобы увидеть, на какой высоте будет ракета через 10 секунд, получится 1600 метров. Подставьте x = 20 – и получите 2100 метров – значит, ракета все еще летит вверх. При x = 30 вы снова получите 1600 метров, а это значит, что пик уже пройден. При x = 40 ракета снова окажется на высоте 100 метров над поверхностью земли. Можно было бы прибавить еще 10 секунд, но, когда мы настолько близки к столкновению, это наверняка слишком большой промежуток времени. Подставив в формулу x = 41, вы получите −105 метров. Это не означает, что, согласно вашим оценкам, ракета ушла под землю; скорее, это означает, что столкновение уже произошло, поэтому ваша красивая, чистая модель движения ракеты, как говорят в баллистике, больше не работает.

Итак, если 41 секунда – слишком много, как насчет 40,5 секунды? Это значение дает −1,25 метра, чуть меньше нуля. Переведите часы еще немного назад, на 40,4 секунды – и получите 19,2 метра, а значит, столкновение еще не произошло. Как насчет 40,49 секунды? Очень близко, всего 0,8 метра над поверхностью земли. Данный процесс можно продолжать и дальше.

Как видите, применяя метод подбора, осторожно перемещая стрелку часов то вперед, то назад, можно получить настолько близкое значение времени столкновения ракеты с землей, насколько захотите.

Но действительно ли мы «решили» уравнение? Скорее всего, вы не позволите себе ответить утвердительно; ведь даже если вы продолжите корректировать свои догадки по поводу времени столкновения ракеты с поверхностью земли, пока не получите