Как не ошибаться - Страница 68

Но вот как выглядели результаты подсчета голосов в Иране на самом деле. Среди последних цифр проанализированных чисел было слишком много цифр 7, гораздо больше справедливой доли. Это были не цифры, полученные в результате случайного процесса, а цифры, написанные людьми, которые пытались придать им случайный вид. Само по себе это не является доказательством, что результаты выборов были сфальсифицированы, но дает основания так считать.

Мы, люди, всегда делаем умозаключения, всегда используем наблюдения, для того чтобы уточнить свои суждения по поводу различных конкурирующих теорий, сталкивающихся друг с другом в рамках нашего представления о мире. В некоторых концепциях мы убеждены твердо, почти непоколебимо («Завтра солнце взойдет», «Когда вы выпускаете вещи из рук, они падают»), но в других уверены менее («Если сегодня я сделаю зарядку, то буду хорошо спать ночью», «Телепатии не существует»). У нас есть теории по поводу большого и малого, по поводу того, с чем мы сталкиваемся каждый день, и того, с чем мы столкнулись лишь один раз в жизни. Когда мы находим доводы за или против этих концепций, наша уверенность в них колеблется то в одну, то в другую сторону.

Наша стандартная теория в отношении колеса рулетки состоит в том, что на нем равное количество красных и черных ячеек, а также что шарик с одинаковой вероятностью попадает на красное или на черное. Но есть и конкурирующие теории: например, на колесе больше ячеек того или иного цвета. Давайте упростим ситуацию и будем исходить из предположения, что в вашем распоряжении есть только три теории.

...

red (больше красных ячеек): колесо сделано так, чтобы шарик попадал на красное в 60 % случаев.

fair (равное количество ячеек): на колесе равное количество ячеек обоих цветов, поэтому шарик в половине случаев попадает на красное и в половине случаев – на черное.

black (больше черных ячеек): колесо сделано так, чтобы шарик попадал на черное в 60 % случаев.

Какую степень достоверности вы приписываете этим трем теориям? Возможно, вы считаете, что на колесе рулетки одинаковое количество черных и красных ячеек, если только у вас нет оснований думать иначе. Может быть, по вашему мнению, равное количество ячеек (fair) – это правильная теория с вероятностью 90 %, что оставляет по 5 % теории о том, что больше черных ячеек (black), и теории о том, что больше красных ячеек (red). Мы можем нарисовать для этой ситуации такую же матрицу, как и для списка Facebook.

В этой матрице записано то, что в теории вероятностей обозначается термином «априорная вероятность». Разные люди по-разному оценивают значения априорной вероятности: настоящий циник мог бы приписать каждой теории вероятность 1/3, тогда как человек с твердой верой в высокую нравственность производителей колес рулетки может приписать теориям red и black вероятность всего 1 % в случае каждой из них.

Однако эти априорные вероятности не являются фиксированными. Если мы получим данные, говорящие в пользу той или иной теории (скажем, шарик пять раз подряд выпадает на красное), степень нашей уверенности в истинности различных теорий может измениться. Как это могло бы проявиться в данном случае? Лучший способ выяснить это сводится к тому, чтобы рассчитать больше условных вероятностей и нарисовать матрицу большего размера.

Какова вероятность, что мы запустим колесо рулетки пять раз и получим последовательность RRRRR? Ответ зависит от того, какая теория истинна. В случае теории fair при каждом запуске колеса рулетки вероятность того, что шарик попадет в красную ячейку, равна 1/2, а значит, вероятность получения последовательности RRRRR составляет

1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 × 1/2 = 1/32 = 3,125 %.

Другими словами, вероятность последовательности RRRRR точно такая же, как и в случае остальных 31 последовательности.

Однако, если верна теория BLACK, вероятность попадания шарика в красную ячейку при каждом запуске равна 40 %, или 0,4, а значит, вероятность последовательности RRRRR составляет:

0,4 × 0,4 × 0,4 × 0,4 × 0,4 = 1,024 %.

Если же верна теория red, вероятность попадания шарика в красную ячейку при каждом запуске равна 60 %, а значит, вероятность последовательности RRRRR составляет:

0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 × 0,6 = 7,76 %.

Теперь давайте увеличим количество клеток в матрице с трех до шести.

Столбцы этой матрицы по-прежнему соответствуют трем теориям: black, fair и red. Но теперь мы разбиваем каждый столбец на две клетки, одна из которых соответствует получению последовательности RRRRR, а другая – отсутствию этой последовательности. Мы уже выполнили все математические вычисления, необходимые для определения чисел, которые необходимо записать в клетках матрицы. Например, априорная вероятность того, что fair – это правильная теория, составляет 0,9. А 3,125 % от этой вероятности, 0,9 × 0,03125 (или около 0,0281), следует записать в клетке, в которой fair – правильная теория, а шарики выпадают в последовательности RRRRR. Число 0,8719 попадает в клетку «теория fair истинна, не RRRRR», так что сумма вероятностей в столбце fair составляет 0,9.

Априорная вероятность попадания в столбец red равна 0,05. Следовательно, вероятность того, что теория red истинна и что шарики выпадают в последовательности RRRRR, составляет 7,76 % от 5 %, или 0,0039. Это составляет 0,0461 для клетки «теория red истинна, RRRRR».