Как не ошибаться - Страница 76

Но если вы купите хотя бы еще один билет, потеря денег неизбежна (хотя о какой именно сумме идет речь, 1 доллар или 4 000 001 доллар, зависит от того, есть ли среди ваших билетов выигрышный).

Здесь трудно воссоздать ход рассуждений Смита, но вполне возможно, что он стал жертвой заблуждения «все линии являются прямыми», сделав вывод о том, что если покупка всех лотерейных билетов непременно приведет к потере денег, то и покупка большего количества билетов также приведет к повышению вероятности потери денег. Человек, купивший один билет, почти полностью уверен, что потеряет деньги, но знает, что не потеряет много денег. Тот, кто купил 6 миллионов билетов, находится в гораздо более опасном положении. Скорее всего, вам все еще кажется, что оба эти решения не очень разумны. Как говорил Смит, если лотерея – это выигрышное дело для государства, значит, для каждого, кто находится по другую сторону сделки, это наверняка не лучший вариант.

В аргументах Смита против лотерей отсутствует понятие ожидаемой ценности – математический формализм, отображающий ту интуитивную догадку, которую он сам и пытался сформулировать. Вот в чем суть этой концепции. Предположим, у нас есть предмет, имеющий неопределенную денежную стоимость, скажем лотерейный билет:

в 9 999 999 из 10 000 000 случаев билет ничего не стоит;

в 1 из 10 000 000 случаев билет стоит 6 миллионов долларов.

Несмотря на эту неопределенность, нам все же может понадобиться присвоить лотерейному билету определенную ценность. Зачем? Что если какой-то человек предлагает людям заплатить по 1,2 доллара за их билеты? Целесообразно ли пойти на эту сделку и положить в карман 20 центов или лучше придержать билет? Это зависит от того, какую ценность вы присвоили этому билету – больше или меньше 1,2 доллара.

Вот как можно вычислить ожидаемую ценность лотерейного билета. Для каждого возможного результата необходимо умножить вероятность результата на ценность билета в случае получения этого результата. В нашем упрощенном примере существует только два варианта: проигрыш или выигрыш. Следовательно, вы получите такие числа:

9 999 999/10 000 000 × 0 долларов = 0;

1/10 000 000 × 6 000 000 долларов = 0,60 доллара.

Затем необходимо сложить эти числа:

0 долларов + 0,60 доллара = 0,60 доллара.

Таким образом, ожидаемая ценность вашего лотерейного билета составляет 60 центов. Если какой-то фанат лотерей постучит в вашу дверь и предложит 1,2 доллара за ваш билет, ожидаемая ценность этого билета говорит о том, что вам следует пойти на эту сделку. В действительности ожидаемая ценность билета говорит, что вы вообще не должны были платить за него один доллар!

Ожидаемая ценность – вовсе не та ценность, которую вы ожидаете

Ожидаемая ценность – еще одна математическая концепция, имеющая (подобно значимости) название, которое не совсем верно отражает ее значение. Разумеется, мы не «ожидаем», чтобы лотерейный билет стоил 60 центов; напротив, он стоит либо 10 миллионов долларов, либо ничего, и никаких промежуточных значений.

То же самое происходит и в следующей ситуации. Предположим, я делаю ставку 10 долларов на собаку, которая, по моему мнению, с вероятностью 10 % выиграет собачьи бега. Если собака победит, я получу 100 долларов; если собака проиграет, я не получу ничего. В таком случае ожидаемая ценность этого пари составляет:

(10 % × 100 долларов) + (90 % × 0 долларов) = 10 долларов.

Но я ожидаю совсем не этого. Выигрыш 10 долларов – по сути, даже не один из возможных результатов моего пари, не говоря уже об ожидаемом. Лучше было бы назвать это «средняя ценность», поскольку на самом деле ожидаемая ценность пари представляет собой количественную оценку того, какого результата я мог бы ожидать, если сделал бы много таких ставок на большое количество собак. Предположим, я заключил тысячу таких пари со ставкой 10 долларов. По всей вероятности, я выиграл бы сотню пари (снова закон больших чисел!) и заработал бы по 100 долларов на каждом из них, то есть всего 10 000 долларов. Следовательно, тысяча ставок принесет мне прибыль в среднем по 10 долларов на одну ставку. В долгосрочной перспективе можно даже остаться при своих.

Ожидаемая ценность – это отличный способ определить справедливую цену объекта (такого как ставка на собачьих бегах), истинная ценность которого неизвестна. Если я заплачу за каждый билет на бега по 12 долларов, в долгосрочной перспективе я с большой вероятностью потеряю деньги; если мне удастся найти такие билеты по 8 долларов, тогда мне следует купить их как можно больше. Сейчас почти никто не делает ставки на собачьих бегах, но механизм ожидаемой ценности один и тот же, что бы вы ни пытались оценить: билеты на бега, фондовые опционы, лотерейные билеты или страхование жизни.

Закон о миллионе

Понятие ожидаемой ценности привлекло внимание математиков еще в середине XVII столетия, а к концу столетия эта идея была уже настолько изученной, что ее использовал даже такой ученый-практик, как Эдмунд Галлей, Королевский астроном Англии. Да, человек, который занимался кометами! Но он был также одним из первых ученых, изучавших вопрос правильного ценообразования страховых продуктов, что в период правления Вильгельма III было делом чрезвычайной важности. Англия с энтузиазмом вступила в войну на континенте, а война требовала денег. Парламент предложил добыть необходимые средства посредством принятого в 1692 году «Закона о миллионе», призванного собрать миллион фунтов за счет продажи пожизненных аннуитетов населению. Чтобы получить такой аннуитет, необходимо было заплатить короне изрядную сумму в обмен на гарантированные пожизненные ежегодные выплаты. Это своего рода страхование жизни наоборот: по существу, покупатели аннуитета делали ставку на то, что они в скором времени не умрут. Актуарная наука находилась в то время в зачаточном состоянии, поэтому стоимость аннуитета устанавливалась без учета возраста получателя аннуитета! Пожизненный аннуитет для дедушки, который мог получать ежегодные выплаты самое большее на протяжении десяти лет, имел такую же стоимость, что и аннуитет для ребенка.