Как не ошибаться - Страница 101

• Предыдущая
• 101 / 196
• Следующая

А теперь представьте себя Филиппом Брунеллески, стоящим в степи; перед вами холст на мольберте, и вы рисуете железнодорожный путь. Этот путь состоит из двух рельсов, которые мы обозначим R и R. Каждый из этих рельсов, нарисованный на холсте, должен представлять собой прямую линию. А подобно тому как точка на холсте соответствует прямой в пространстве, прямая линия на холсте соответствует плоскости. Плоскость P, соответствующая рельсу R, – это и есть та плоскость, которая образована прямыми, соединяющими каждую точку на этом рельсе с вашим глазом. Точно так же плоскость P, соответствующая рельсу R, – это плоскость, на которой находится ваш глаз и рельс R. Пересечение каждой из этих плоскостей с холстом представляет собой прямую линию; обозначим эти прямые L и L.

Эти два рельса параллельны друг другу. Однако две плоскости не параллельны. Как они могут быть параллельными? Они ведь пересекаются в вашем глазу, а параллельные плоскости не пересекаются. Плоскости, которые не являются параллельными, должны иметь пересечение в виде прямой линии. В данном случае это горизонтальная линия, которая исходит из вашего глаза и проходит дальше параллельно рельсам. Эта линия, будучи горизонтальной, не пересекается со степью: она стремится к горизонту, не касаясь поверхности земли. Однако (и в этом весь смысл происходящего) она пересекается с холстом в точке V. Поскольку точка V находится на плоскости R, она должна быть на линии L, вдоль которой рельс R пересекается с холстом. А поскольку точка V находится также на плоскости R, она должна быть на линии L. Другими словами, V – это точка на холсте, в которой пересекаются нарисованные рельсы. На самом деле любой путь в степи, пролегающий параллельно рельсам, будет выглядеть на холсте как линия, которая проходит через точку V. Точка V – так называемая точка схода, то есть точка, через которую проходят все нарисованные линии, параллельные рельсам. В действительности каждая пара параллельных рельсов образует определенную точку схода на холсте, а положение этой точки зависит от направления параллельных линий. (Исключение составляют только пары прямых линий, параллельных самому холсту, как шпалы между рельсами – на картине они по-прежнему выглядят как параллельные.)

Концептуальный сдвиг, который совершил Филиппо Брунеллески, лежит в основе того, что математики называют проективной геометрией. Вместо точек на местности мы анализируем прямые линии, проходящие через наш глаз. На первый взгляд различие может показаться сугубо семантическим: каждая точка на поверхности земли определяет одну и только одну линию между этой точкой и нашим глазом, так не все ли равно, о чем мы думаем – о точке или о прямой? Разница вот в чем: количество линий, которые проходят через наш глаз, больше количества точек на поверхности, поскольку среди них есть еще и горизонтальные линии, вообще не пересекающиеся с поверхностью земли. Эти прямые соответствуют точкам схода на нашем холсте, то есть тем местам, в которых пересекаются рельсы. Вы можете представить такую линию как точку на поверхности, которая расположена «бесконечно далеко» в направлении рельсов. Математики обычно называют их бесконечно удаленными точками. Если взять плоскость, известную Евклиду, и изобразить на ней бесконечно удаленные точки, получится проективная плоскость. Вот рисунок такой плоскости.

Большая часть проективной плоскости выглядит точно так же, как и обычная плоскость, к которой вы привыкли. Однако на проективной плоскости больше точек: на ней есть так называемые бесконечно удаленные точки – по одной на каждое возможное направление, в котором прямая может быть ориентирована на плоскости. Вы должны представлять себе точку Р, соответствующую вертикальному направлению, как расположенную бесконечно высоко по вертикальной оси, но также и как расположенную бесконечно низко по вертикальной оси. На проективной плоскости два конца оси Y сходятся в бесконечно удаленной точке, поэтому данная ось на самом деле представляет собой не прямую линию, а окружность. Аналогичным образом Q – это точка, расположенная бесконечно далеко на северо-восток (или на юго-запад), а R – точка, которая находится в конце горизонтальной оси. Или, скорее, на обоих концах. Если вы будете перемещаться бесконечно далеко вправо, до тех пор пока не окажетесь в точке R, а затем продолжите идти дальше, то обнаружите, что по-прежнему двигаетесь вправо, но теперь возвращаетесь в центр от левого края рисунка.

Ситуация «отправился по одному пути, вернулся по другому» поразила молодого Уинстона Черчилля, который дал яркое описание одного математического откровения, произошедшего в его жизни:

Однажды я прочувствовал математику, словно обозрел ее всю, все ее глубины раскрылись передо мной, вся ее бездонность. Подобно тому как многие наблюдают за прохождением Венеры или шествием лорда-мэра, я наблюдал за полетом величины через бесконечность и сменой ее знака с плюса на минус. Я понял, почему это происходит и как один шаг влечет за собой все другие. Похоже на политику. Но озарение пришло после плотного ужина – и мне было не до него!