Как не ошибаться - Страница 183

183

221

В каждом сигнале в той или иной мере присутствуют искажения.

222

C. E. Shannon. A Mathematical Theory of Communication // Bell System Technical Journal. 1948. Vol. 27. Рр. 379–423; К. Э. Шеннон. Математическая теория связи // К. Шеннон. Работы по теории информации и кибернетике / Пер. С. Карпова. М.: Издательство иностранной литературы, 1963. С. 243–332. Прим. М. Г.

223

Эта тема прекрасно освещена в книге Яна Хакинга The Emergence of Probability («Возникновение теории вероятностей»).

224

Техническая ремарка для тех, кому интересно то, что я здесь описываю. Собственно, я рассматриваю код, двойственный к обычному коду обычного кода Хэмминга – это частный случай перфорированного кода Адамара.

225

Если исходное кодовое слово – это 0000000, тогда при наличии одного искаженного бита в сообщении было бы шесть нулей и только одна единица, а значит, получатель может быть совершенно уверен в том, что строка 0000000 и есть надлежащий сигнал.

226

Если вы не думали об этом раньше, то скорее всего вам было трудно отслеживать мой ход рассуждений. Причина, почему так трудно следить за подобными выкладками, состоит в том, что такую тему невозможно осмыслить, просто сидя и читая о ней. Вы должны взять карандаш и попробовать записать множество из четырех точек, содержащее две разные прямые линии на плоскости Фано, а после того, как вы не справитесь с заданием, – понять, почему вам не удалось его выполнить. Другого способа нет. Предлагаю писать все это прямо на страницах книги, если только вы не взяли ее в библиотеке или не читаете ее на экране.

227

Ремарка для специалистов: расстояние Хэмминга удовлетворяет неравенству треугольника.

228

Что совсем не одно и то же!

229

На языке Po bebop означает «elastic» («резинка»). Хотелось бы думать, что мы имеем дело с неизвестным фактом из истории джаза – истории во многом загадочной; но скорее всего это просто совпадение [бибоп – стиль джаза, сложившийся в 1940-е; название происходит от набора бессмысленных слогов, используемых в вокальных партиях; ярким представителем стиля бибоп было трио Joshua Redman Elastic Band. Прим. М. Г.].

230

На сайте в разделе «Часто задаваемые вопросы» сказано, что количество людей, владеющих языком ложбан на разговорном уровне, «составляет примерно столько, сколько можно сосчитать на пальцах одной руки», – на мой взгляд, очень даже неплохо.

231

Точнее говоря, сфера – это множество точек, расположенных от центра на расстоянии ровно 1; пространство, описанное здесь, представляет собой полную сферу, которую обычно называют шаром.

232

Другими словами, на расстоянии 0 или 1, поскольку расстояния Хэмминга в отличие от обычных расстояний должны быть выражены в целых числах.

233

И. Кеплер. О шестиугольных снежинках / Пер. с лат. Ю. А. Данилова. М.: Наука, 1982.

234

Есть очень похожая упаковка, называемая гексагональной: в ней слои укладываются несколько иначе. Возможны также смешанные упаковки. Прим. М. Г.

235

При кубической упаковке получается ромбический додекаэдр, состоящий из двенадцати ромбов (такую же форму имеют некоторые кристаллы минерала гранат), при гексагональной – трапецеромбический додекаэдр, состоящий из шести ромбов и шести трапеций. Прим. М. Г.

236

Однако нам известно, что атомы алюминия, меди, золота, иридия, свинца, никеля, платины и серебра в твердой форме образуют гранецентрированную кубическую конфигурацию. Это еще один пример математической теории, нашедшей такое применение, которое ее создатели даже не представляли.

237

Хотя в тех случаях, когда сигналы моделируются в виде последовательностей действительных чисел, а не в виде последовательностей нулей и единиц, задача упаковки сфер – именно то, что нужно для разработки эффективных кодов с исправлением ошибок.

238

Кон работает в Microsoft Research, подразделении корпорации Microsoft; Microsoft Research в каком-то смысле продолжает традицию исследовательского центра Bell Labs, где в свое время была реализована модель поддержки чистой математики со стороны индустрии высоких технологий – хотелось бы надеяться, на благо обеих.

239

Про историю поиска плотных упаковок см.: Н. Дж. А. Слоэн. Упаковка шаром // В мире науки. 1984. № 3. С. 72–82. Оптимальность решетки Лича, а также решетки Е8 в восьмимерном пространстве доказала в 2016 году украинский математик Марина Вязовская, работающая в Берлине; см.: E. Klarreich. Sphere Packing Solved in Higher Dimensions // Quanta Magazine. 2016. March 30 (). Вопрос об упаковках для размерностей, отличных от 1, 2, 3, 8, 24, остается открытым. Прим. М. Г.

240

Это еще одна замечательная и лихо закрученная история, но слишком длинная, чтобы здесь в нее погружаться; вы можете прочитать о ней в книге: M. Ronan. Symmetry and the Monster: The Story of One of the Greatest Quests of Mathematic. Oxford University Press, 2007.

241

Какой в этом смысл, если Шеннон доказал, что совершенно случайный выбор кода должен обеспечить в точности такой же результат? В какой-то степени вопрос закономерен, но теорема Шеннона в самом строгом ее виде требует, чтобы кодовые слова были произвольной длины. В нашем примере, когда кодовые слова должны иметь фиксированную длину 48, немного дополнительных усилий позволяют превзойти случайный код, что и сделал Деннистон.

183